Referat.kulichki.net - - Курс лекций по общему курсу статистики

Рефераты - Курс лекций по общему курсу статистики

Заказать написание реферата, курсовой, диплома на мою тему



Файл 1

Лекция №9

Выборочное наблюдение.
Статистическое исследование может осуществляться по данным несплошного наблюдения, основная цель которого состоит в получении характеристик изучаемой совокупности по обследованной ее части. Одним из наиболее распространенных в статистике методов, применяющих несплошное наблюдение, является выборочный метод.
Под выборочным понимается метод статистического исследования, при котором обобщающие показатели изучаемой совокупности устанавливаются по некоторой ее части на основе положений случайного отбора. При выборочном методе обследованию подвергается сравнительно небольшая часть всей изучаемой совокупности (обычно до 5 - 10%, реже до 15 - 25%). При этом подлежащая изучению статистическая совокупность, из которой производится отбор части единиц, называется генеральной совокупностью. Отобранная из генеральной совокупности некоторая часть единиц, подвергающаяся обследованию, называется выборочной совокупностью или просто выборкой.
Значение выборочного метода состоит в том, что при минимальной численности обследуемых единиц проведение исследования осуществляется в более короткие сроки и с минимальными затратами труда и средств. Это повышает оперативность статистической информации, уменьшает ошибки регистрации.
В проведении ряда исследований выборочный метод является единственно возможным, например, при контроле качества продукции (товара), если проверка сопровождается уничтожением или разложением на составные части обследуемых образцов (определение сахаристости фруктов, клейковины печеного хлеба, установление носкости обуви, прочности тканей на разрыв и т.д.).
Проведение исследования социально - экономических явлений выборочным методом складывается из ряда последовательных этапов:
1) обоснование (в соответствии с задачами исследования) целесообразности применения выборочного метода;
2) составление программы проведения статистического исследования выборочным методом;
3) решение организационных вопросов сбора и обработки исходной информации;
4) установление доли выборки, т.е. части подлежащих обследованию единиц генеральной совокупности;
5) обоснование способов формирования выборочной совокупности;
6) осуществление отбора единиц из генеральной совокупности для их обследования;
7) фиксация в отобранных единицах (пробах) изучаемых признаков;
8) статистическая обработка полученной в выборке информации с определением обобщающих характеристик изучаемых признаков;
9) определение количественной оценки ошибки выборки;
10) распространение обобщающих выборочных характеристик на генеральную совокупность.
В генеральной совокупности доля единиц, обладающих изучаемым признаком, называется генеральной долей (обозначается р), а средняя величина изучаемого варьирующего признака - генеральной средней (обозначается ).
В выборочной совокупности долю изучаемого признака называют выборочной долей, или частостью (обозначается ), а среднюю величину в выборке - выборочной средней (обозначается ).
Пример.
При контрольной проверке качества хлебобулочных изделий проведено 5%-ное выборочное обследование партии нарезных батонов из муки высшего сорта. При этом из 100 отобранных в выборку батонов 90 шт. соответствовали требованиям стандарта. Средний вес одного батона в выборке составлял 500,5 г при среднем квадратическом отклонении г.
На основе полученных в выборке данных нужно установить возможные значения доли стандартных изделий и среднего веса одного изделия во всей партии.
Прежде всего устанавливаются характеристики выборочной совокупности. Выборочная доля, или частость, определяется из отношения единиц, обладающих изучаемым признаком m, к общей численности единиц выборочной совокупности n:

Поскольку из 100 изделий, попавших в выборку n, 90 ед. оказались стандартными m, то показатель частости равен: = 90:100=0,9.
Средний вес изделия в выборке х = 500,5 г определен взвешиванием. Но полученные показатели частости (0,9) и средней величины (500,5 г) характеризуют долю стандартной продукции и средний вес одного изделия лишь в выборке. Дляопределения соответствующих показателей для всей партии товара надо установить возможные при этом значения ошибки выборки.
Ошибка выборки - это объективно возникающее расхождение между характеристиками выборки и генеральной совокупности. Она зависит от ряда факторов: степени вариации изучаемого признака, численности выборки, методом отбора единиц в выборочную совокупность, принятого уровня достоверности результата исследования.
Определение ошибки выборочной средней.
При случайном повторном отборе средняя ошибка выборочной средней рассчитывается по формуле:
,
где - средняя ошибка выборочной средней;
- дисперсия выборочной совокупности;
n - численность выборки.

При бесповторном отборе она рассчитывается по формуле:
,
где N - численность генеральной совокупности.
Определение ошибки выборочной доли.
При повторном отборе средняя ошибка выборочной доли рассчитывается по формуле:
,

где - выборочная доля единиц, обладающих изучаемым признаком;
- число единиц, обладающих изучаемым признаком;
- численность выборки.
При бесповторном способе отбора средняя ошибка выборочной доли определяется по формулам:

Предельная ошибка выборки связана со средней ошибкой выборки отношением:
.
При этом t как коэффициент кратности средней ошибки выборки зависит от значения вероятности Р, с которой гарантируется величина предельной ошибки выборки.
Предельная ошибка выборки при бесповторном отборе определяется по следующим формулам:
,
.
Предельная ошибка выборки при повторном отборе определяется по формуле:
,
.

Малая выборка.
При контроле качества товаров в экономических исследованиях эксперимент может проводиться на основе малой выборки.
Под малой выборкой понимается несплошное статистическое обследование, при котором выборочная совокупность образуется из сравнительно небольшого числа единиц генеральной совокупности. Объем малой выборки обычно не превышает 30 единиц и может доходить до 4 - 5 единиц.
Средняя ошибка малой выборки вычисляется по формуле:
,
где - дисперсия малой выборки.
При определении дисперсии число степеней свободы равно n-1:
.
Предельная ошибка малой выборки определяется по формуле
При этом значение коэффициента доверия t зависит не только от заданной доверительной вероятности, но и от численности единиц выборки n. Для отдельных значений t и n доверительная вероятность малой выборки определяется по специальным таблицам Стьюдента (Табл. 9.1.), в которых даны распределения стандартизированных отклонений:
.


Таблица 9.1.
n
t

0,5
1,0
1,5
2,0
3,0
4
0,347
0,609
0,769
0,861
0,942
6
0,362
0,637
0,806
0,898
0,970
8
0,368
0,649
0,823
0,914
0,980
10
0,371
0,657
0,832
0,923
0,985
15
0,376
0,666
0,846
0,936
0,992
20
0,377
0,670
0,850
0,940
0,993
Поскольку при проведении малой выборки в качестве доверительной вероятности практически принимается значение 0,59 или 0,99, то для определения предельной ошибки малой выборки используются следующие показания распределения Стьюдента (Табл. 9.2.)
Таблица 9.2.
n


0,95
0,99
4
3,183
5,841
5
2,777
4,604
6
2,571
4,032
7
2,447
3,707
8
2,364
3,500
9
2,307
3,356
10
2,263
3,250
15
2,119
2,921
20
2,078
2,832
Пример.
При контрольной проверке качества поставленной в торговлю колбасы получены данные о содержании поваренной соли в пробах. По данным выборочного обследования нужно установить с вероятностью 0,95 предел, в котором находится средний процент содержания поваренной соли в данной партии товара.
Составляем расчётную таблицу и по её итогам определяем среднюю пробу малой выборки.
Таблица 9.3.
Пробы


4,3
0,2
0,04
4,2
0,1
0,01
3,8
0,3
0,09
4,3
0,2
0,04
3,7
- 0,4
0,16
3,9
- 0,2
0,04
4,5
0,4
0,16
4,4
0,3
0,09
4,0
- 0,1
0,01
3,9
- 0,2
0,04
41,0
-
0,68

Определяем дисперсию малой выборки:

Определяем среднюю ошибку малой выборки:

Исходя из численности выборки (n=10) и заданной вероятности =0,95, устанавливается по распределению Стьюдента (см. Табл. 9.2.) значение коэффициента доверия t=2,263.
Предельная ошибка малой выборки составит:

Следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что во всей партии колбасы содержание поваренной соли находится в пределах:
, т.е. от 4,1% - 0,2%=3,9%
до 4,1%+0,2%=4,3%.

Способы распространения характеристик выборки на генеральную совокупность.
Выборочный метод чаще всего применяется для получения характеристик генеральной совокупности по соответствующим показателям выборки. В зависимости от целей исследований это осуществляется или прямым пересчётом показателей выборки для генеральной совокупности, или посредством расчёта поправочных коэффициентов.
Способ прямого пересчёта. Он состоит в том, что показатели выборочной доли или средней распространяется на генеральную совокупность с учётом ошибки выборки.
Так, в торговле определяется количество поступивших в партии товара нестандартных изделий. Для этого (с учётом принятой степени вероятности) показатели доли нестандартных изделий в выборке умножаются на численность изделий во всей партии товара.
Пример.
При выборочном обследовании партии нарезных батонов 2 000 ед. доля нестандартных изделий в выборке составляет: 0,1 (10 : 100) при установленной с вероятностью =0,954 предельной ошибке выборки .
На основе этих данных доля нестандартных изделий во всей партии составит: или от 0,04 до 0,16.
Способом прямого пересчёта можно определить пределы абсолютной численности нестандартных изделий во всей партии: минимальная численность - 2 000 : 0,04 = 80 шт.; максимальная численность - 2 000 : 0,16 = 320 шт.
Способ поправочных коэффициентов. Применяется в случаях, когда целью выборочного метода является уточнение результатов сплошного учета.
В статистической практике этот способ используется при уточнении данных ежегодных переписей скота, находящегося у населения. Для этого после обобщения данных сплошного учета практикуется 10%-ное выборочное обследование с определением так называемого "процента недоучета".
Так, например, если в хозяйствах населения поселка по данным 10%-ной выборки было зарегистрировано 52 головы скота, а по данным сплошного учета в этом массиве значится 50 голов, то коэффициент недоучета составляет 4% [(2*50):100]. С учетом полученного коэффициента вносится поправка в общую численность скота, находящегося у населения данного поселка.

Способы отбора единиц
из генеральной совокупности.
В статистике применяются различные способы формирования выборочных совокупностей, что обусловливается задачами исследования и зависит от специфики объекта изучения.
Основным условием проведения выборочного обследования является предупреждение возникновения систематических ошибок, возникающих вследствие нарушения принципа равных возможностей попадания в выборку каждой единицы генеральной совокупности. Предупреждение систематических ошибок достигается в результате применения научно обоснованных способов формирования выборочной совокупности.
Существуют следующие способы отбора единиц из генеральной совокупности:
1) индивидуальный отбор - в выборку отбираются отдельные единицы;
2) групповой отбор - в выборку попадают качественно однородные группы или серии изучаемых единиц;
3) комбинированный отбор - это комбинация индивидуального и группового отбора.
Способы отбора определяются правилами формирования выборочной совокупности.
Выборка может быть:
- собственно-случайная;
- механическая;
- типическая;
- серийная;
- комбинированная.
Собственно-случайная выборка состоит в том, что выборочная совокупность образуется в результате случайного (непреднамеренного) отбора отдельных единиц из генеральной совокупности. При этом количество отобранных в выборочную совокупность единиц обычно определяется исходя из принятой доли выборки.
Доля выборки есть отношение числа единиц выборочной совокупности n к численности единиц генеральной совокупности N, т.е.
.
Так, при 5%-ной выборке из партии товара в 2 000 ед. численность выборки n составляет 100 ед. (5*2000:100), а при 20%-ной выборке она составит 400 ед. (20*2000:100) и т.д.
Механическая выборка состоит в том, что отбор единиц в выборочную совокупность производится из генеральной совокупности, разбитой на равные интервалы (группы). При этом размер интервала в генеральной совокупности равен обратной величине доли выборки.
Так, при 2%-ной выборке отбирается каждая 50-я единица (1:0,02), при 5%-ной выборке - каждая 20-я единица (1:0,05) и т.д.
Таким образом, в соответствии с принятой долей отбора, генеральная совокупность как бы механически разбивается на равновеликие группы. Из каждой группы в выборку отбирается лишь одна единица.
Важной особенностью механической выборки является то, что формирование выборочной совокупности можно осуществить, не прибегая к составлению списков. На практике часто используют тот порядок, в котором фактически размещаются единицы генеральной совокупности. Например, последовательность выхода готовых изделий с конвейера или поточной линии, порядок размещения единиц партии товара при хранении, транспортировке, реализации и т.д.
Типическая выборка. При типической выборке генеральная совокупность вначале расчленяется на однородные типические группы. Затем из каждой типической группы собственно-случайной или механической выборкой производится индивидуальный отбор единиц в выборочную совокупность.
Типическая выборка обычно применяется при изучении сложных статистических совокупностей. Например, при выборочном обследовании производительности труда работников торговли, состоящих из отдельных групп по квалификации.
Важной особенностью типической выборки является то, что она дает более точные результаты по сравнению с другими способами отбора единиц в выборочную совокупность.
Для определения средней ошибки типической выборки используются формулы:

повторный отбор
,

бесповторный отбор
,

Дисперсия определяется по следующим формулам:
,
Пример.
Для выявления доли простоев из-за несвоевременного поступления полуфабрикатов была проведена фотография рабочего дня 10% рабочих четырех различных цехов. Отбор рабочих внутри цехов производится методом механического отбора. В результате выборки были получены следующие данные:
Цех
Число рабочих в выборке
Удельный вес простоев из-за несвоевременного поступления полуфабрикатов, %
№1
20
5
№2
36
10
№3
14
15
№4
30
2
С вероятностью 0,954 требуется определить пределы, в которых находится доля простоев на заводе из-за несвоевременного поступления полуфабрикатов.
Рассчитаем долю простоев из-за несвоевременного поступления полуфабрикатов в выборке:

Рассчитаем дисперсии типических групп:
для группы
Средняя из внутригрупповых дисперсий определяется по формуле:

Определяем среднюю ошибку в выборочной доле:

Рассчитаем предельную ошибку выборки для доли с вероятностью 0,954:

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля простоев рабочих из-за несвоевременного поступления полуфабрикатов находится в пределах .
Серийная выборка. При серийной выборке генеральную совокупность делят на одинаковые по объему группы - серии. В выборочную совокупность отбираются серии. Внутри серий производится сплошное наблюдение единиц, попавших в серию.
При бесповторном отборе серий средняя ошибка выборочной серии определяется по формуле:
,
где - межсерийная дисперсия средних;
R - число серий в генеральной совокупности;
r - число отобранных серий.
Пример.
В механическом цехе завода в десяти бригадах работает 100 рабочих. В целях изучения квалификации рабочих была произведена 20%-ная серийная бесповторная выборка, в которую вошли 2 бригады. Получено следующее распределение обследованных рабочих по разрядам:
Рабочие
Разряды рабочих в бригаде 1
Разряды рабочих в бригаде 2
1
2
3
2
4
6
3
5
1
4
2
5
5
5
3
6
6
4
7
5
2
8
8
1
9
4
3
10
5
2

Необходимо определить с вероятностью 0,997 пределы, в которых находится средний разряд рабочих механического цеха.
Определим выборочные средние по бригадам и общую среднюю:






Определим межсерийную дисперсию:


Рассчитаем среднюю ошибку выборки:


Вычислим предельную ошибку выборки с вероятностью 0,997.


С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний разряд рабочих механического цеха находится в пределах .
При бесповторном серийном отборе средняя ошибка выборки для доли определятся по формуле:
,
где - межсерийная дисперсия доли.
Пример.
200 ящиков деталей упакованы по 40 шт. в каждом. Для проверки качества деталей был проведён сплошной контроль деталей в 20 ящиках (выборка бесповторная). В результате контроля установлено, что доля бракованных деталей составляет 15%. Межсерийная дисперсия равна 49. С вероятностью 0,997 определим пределы, в которых находится доля бракованной продукции в партии ящиков.
Определим среднюю ошибку выборки для доли:
.

Предельная ошибка выборки для доли с вероятностью 0,997 равна: .
С вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля бракованных деталей в партии будет находиться в пределах от 10,59% до 19,41%.
В статистике различают одноступенчатые и многоступенчатые способы отбора единиц в выборочную совокупность.
При одноступенчатой выборке каждая отобранная единица сразу же подвергается изучению по заданному признаку. Так обстоит дело при собственно-случайной и серийной выборке.
При многоступенчатой выборке производят подбор из генеральной совокупности отдельных групп, а из групп выбираются отдельные единицы. Так производится типическая выборка с механическим способом отбора единиц в выборочную совокупность.
Комбинированная выборка может быть двухступенчатой. При этом генеральная совокупность сначала разбивается на группы. Затем производят отбор групп, а внутри последних осуществляется отбор отдельных единиц.


Продолжение контрольной работы № 3.

Задача №1.
В районе А проживает 2500 семей. Для установления среднего числа детей в семье была проведена 2%-ная случайная бесповторная выборка семей. В результате обследования были полученные следующие данные:

число детей в семье
0
1
2
3
4
5
число семей
10
20
12
4
2
2

С вероятностью 0,997 требуется определить границы, в которых будет находиться среднее число детей в семье в генеральной совокупности (в городе А). Генеральная средняя
Задача №2.
При обследовании 100 образцов изделий, отобранных из партии в случайном порядке, оказалось 20 нестандартных. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится доля нестандартной продукции партии. Генеральная доля равна: .
Задача №3.
С целью определения доли брака во всей партии изготовленных деталей была произведена 10%-ная типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности единиц типических групп. Внутри типических групп применялся метод механического отбора. Результаты выборки представлены в таблице:

Тип станка
Выработка одного станка, шт.
Процент брака по данным выборки
1
1 500
2,0
2
2 000
3,0
3
4 000
1,5
4
5 000
1,0
5
2 500
1,8

С вероятностью 0,997 определить пределы, в которых находится доля брака во всей партии деталей, изготовленных на всех станках.

Продолжение контрольной работы № 3 в лекции №10.

Файл 2

Лекция №8

Индексный метод.
Статистические индексы.
Важное значение в статистических исследованиях коммерческой деятельности имеет индексный метод. Полученные на основе этого метода показатели используются для характеристики развития анализируемых показателей во времени, по территории, изучения структуры и взаимосвязей, выявления роли факторов в изменении сложных явлений.
Индексы широко применяются в экономических разработках государственной и ведомственной статистики.
Статистический индекс - это относительная величина сравнения сложных совокупностей и отдельных их единиц. При этом под сложной понимается такая статистическая совокупность, отдельные элементы которой непосредственно не подлежат суммированию.
Например, ассортимент продовольственных товаров состоит из товарных разновидностей, первичный учет которых на производстве и в оптовой торговле ведется в натуральных единицах измерения: молоко - в литрах, мясо - в центнерах, яйцо - в штуках, консервы - в условных банках и т.д. Для определения общего объема производства и реализации продовольственных товаров суммировать данные учета разнородных товарных масс в натуральных измерителях нельзя. Не подлежат непосредственному суммированию и данные о количестве произведенных и реализованных различных видов непродовольственных товаров. Было бы, например, бессмысленно для получения общего объема реализации суммировать данные о продаже тканей (в метрах), костюмов (в штуках), обуви (в парах) и т.д.
В этих сложных статистических совокупностях единицами наблюдения являются товары с различными потребительскими свойствами. Данные о натурально - вещественной форме реализации отдельных товарных разновидностей непосредственному суммированию не подлежат. Для получения в сложных статистических совокупностях обобщающих (суммарных) величин прибегают к индексному методу.
Основой индексного метода при определении изменений в производстве и обращении товаров является переход от натурально - вещественной формы выражения товарных масс к стоимостным (денежным) измерителям. Именно посредством денежного выражения стоимости отдельных товаров устраняется их несравнимость как потребительских стоимостей и достигается единство.

Индивидуальные и общие индексы.
В зависимости от степени охвата подвергнутых обобщению единиц изучаемой совокупности индексы подразделяются на индивидуальные (элементарные) и общие.
Индивидуальные индексы характеризуют изменения отдельных единиц статистической совокупности. Так, например, если при изучении оптовой реализации продовольственных товаров определяются изменения в продаже отдельных товарных разновидностей, то получают индивидуальные (однотоварные) индексы.
Общие индексы выражают сводные (обобщающие) результаты совместного изменения всех единиц, образующих статистическую совокупность. Пример, показатель изменения объема реализации товарной массы продуктов питания по отдельным периодам будет общим индексом физического объема товарооборота.
Важной особенностью общих индексов является то, что они обладают синтетическими и аналитическими свойствами.
Синтетические свойства индексов состоят в том, что посредством индексного метода производится соединение (агрегирование) в целом разнородных единиц статистической совокупности.
Аналитические свойства индексов состоят в том, что посредством индексного метода определяется влияние факторов на изменение изучаемого показателя.
Для определения индекса надо произвести сопоставление не менее двух величин. При изучении динамики социально-экономических явлений сравниваемая величина (числитель индексного отношения) принимается за текущий (или отчетный) период, а величина, с которой производится сравнение - за базисный период.
Основным элементом индексного отношения является индексируемая величина. Под индексируемой величиной понимается значение признака статистической совокупности, изменение которой является объектом изучения. Так, при изучении изменения цен индексируемой величиной является цена единицы товара p. При изучении изменения физического объема товарной массы в качестве индексируемой величины выступают данные о количестве товаров в натуральных измерителях q. Стоимость продукции обозначается через s.
Индивидуальные индексы принято обозначать i, а общие индексы - I.
Знак внизу справа означает период:
- базисный,
- отчетный.
Пример.
В текущем, отчётном году предприятие произвело 120 тыс.т. продукции вместо 100 тыс.т. в прошлом базисном, году. Цены за каждую тонну этой продукции снизились с 20 до 18 рублей; а её общая стоимость возросла с 2 000 до 2 160 тыс. руб.
В данном примере можно вычислить три индекса:
индекс объёма продукции: или 120%;
индекс цен: или 90%;
индекс стоимости продукции: или 108%

Полученные индексы показывают, что объём продукции и её стоимость возросла в отчётном году по сравнению с базисным в 1,2 и 1,08 раза, а цены, наоборот, снизились до 1,9 их базисного уровня. Все три индекса образуют систему показателей - сомножителей: или 1,2 * 0,9 = 1,08.
Агрегатные индексы.
Основной формой общих индексов являются агрегатные индексы.
Достижение в сложных статистических совокупностях сопоставимости разнородных единиц осуществляется введением в индексные отношения специальных сомножителей индексируемых величин. Такие сомножители называются соизмерителями. Они необходимы для перехода от натуральных измерителей разнородных единиц статистической совокупности к однородным показателям. При этом в числителе и знаменателе общего индекса изменяется лишь значение индексируемой величины, а их соизмерители являются постоянными величинами.
В качестве соизмерителей индексируемых величин выступают тесно связанные с ними экономические показатели: цены, количество и др.
Произведение каждой индексируемой величины на соизмеритель образует в индексном отношении определённые экономические категории.
Пример.
Таблица 1.
Товар
Ед.
изм.
I
период
II
период
Индивидуальные индексы


цена за единицу
товара, руб.

кол-во

цена за единицу товара, руб.
кол-во,

цен
физич-го объёма

А
т
20
7 500
25
9500
1,25
1,27
Б
м
30
2 000
30
2500
1,0
1,25
В
шт.
15
1 000
10
1500
0,67
1,5
При определении по данным таблицы статистических индексов первый период принимается за базисный, в котором цена единицы товара принимается , а количество - .
Второй период принимается за текущий (или отчетный), в котором цена единицы товара обозначается , а количество - .
Индивидуальные индексы показывают, что в текущем периоде по сравнению с базисным цена на товар А повысилась на 25%, на товар Б осталась без изменения, а на товар В снизилась на 33%. Количество реализации товара А возросло на 27%, товара Б - на 25%, а товара В - на 50%.
При определении общего индекса цен в агрегатной форме в качестве соизмерителя индексируемых величин и могут приниматься данные о количестве реализации товаров в текущем периоде . При умножении на индексируемые величины в числителе индексного отношения образуется значение ,
сумма стоимости продажи товаров в текущем периоде по ценам того же текущего периода. В знаменателе индексного отношения образуется значение , т.е. сумма стоимости продажи товаров в текущем периоде по ценам базисного периода.
Агрегатная формула такого общего индекса цен имеет следующий вид:
= (1)
Расчёт агрегатного индекса цен по данной формуле предложил немецкий экономист Г. Пааше, поэтому он называется индексом Пааше.
Применяем формулу для расчёта агрегатного индекса цен по данным табл.1:
числитель индексного отношения
=25 * 9 500 + 30 * 2 500 + 10 * 1 500 = 327 500 руб.
знаменатель индексного отношения
= 20 * 9 500 + 30 * 2 500 + 15 * 1 500 = 287 500 руб.
Полученные значения подставляем в формулу 1:
= или 113,9%
Применение формулы 1 показывает, что по данному ассортименту товаров в целом цены повысились в среднем на 13,9%.

При другом способе определения агрегатного индекса цен в качестве соизмерителя индексируемых величин и могут применяться данные о количестве реализации товаров в базисном периоде . При этом умножение на индексируемые величины в числителе индексного отношения образует значение , т.е. сумму стоимости продажи товаров в базисном периоде по ценам текущего периода.
В знаменателе индексного отношения образуется значение , т.е. сумма стоимости продажи товаров в базисном периоде по ценам того же базисного периода.
Агрегатная формула такого общего индекса имеет вид:
= (2)
Расчёт общего индекса цен по данной формуле предложил немецкий экономист Э. Ласпейрес, и получил название индекса Ласпейреса.
Применяем формулу для расчёта агрегатного индекса цен по данным табл.1:
числитель индексного отношения
= 25 * 7 500 + 30 * 2 000 + 10 * 1000 = 257 500 руб.
знаменатель индексного отношения
= 20 * 7 500 + 30 * 2 000 + 15 * 1 000 = 225 000 руб.
Полученные значения подставляем в формулу 2:
=или 114,4%
Применение формулы 2 показывает, что по данному ассортименту товаров в целом цены повысились в среднем на 14,4%.
Таким образом, выполненные по формулам 1 и 2 расчёты имеют разные показания индексов цен. Это объясняется тем, что индексы Пааше и Ласпейреса характеризуют различные качественные особенности изменения цен.
Индекс Пааше характеризует влияние изменения цен на стоимость товаров, реализованных в отчётном периоде. Индекс Ласпейреса показывает влияние изменения цен на стоимость количества товаров, реализованных в базисном периоде.
Другим важным видом общих индексов, которые широко применяются в статистике, являются агрегатные индексы физического объёма товарной массы.
При определении агрегатного индекса физического объёма товарной массы в качестве соизмерителей индексируемых величин и могут применяться неизменные цены базисного периода . При умножении на индексируемые величины в числителе индексного отношения образуются значение , т.е. сумма стоимости товарной массы текущего периода в базисных ценах. В знаменателе - , т.е. сумма стоимости товарной массы базисного периода в ценах того же базисного периода.
Агрегатная форма общего индекса имеет следующий вид:
= (3)
Поскольку, в числителе формулы 3 содержится сумма стоимости реализации товаров в текущем периоде по неизменным (базисным) ценам, а в знаменателе - сумма фактической стоимости товаров, реализованных в базисном периоде в тех же неизменных (базисных) ценах, то данный индекс является агрегатным индексом товарооборота в сопоставимых (базисных) ценах.
Используем формулу 3 для расчёта агрегатного индекса физического объёма реализации товаров по данным табл.1:
числитель индексного отношения
= 9 500 * 20 + 2 500 * 30 + 1 500 * 15 = 287 500 руб.
знаменатель индексного отношения
= 7 500 * 20 + 2 000 * 30 + 1 000 * 15 = 225 000 руб.
Полученные значения подставляем в формулу 3:
= или 127,8%
Применение формулы 3 показывает, что по данному ассортименту товаров в целом прирост физического объёма реализации в текущем периоде составил в среднем 27,8%.
Агрегатный индекс физического объёма товарооборота может определяться посредством использования в качестве соизмерителя индексируемых величин и цен текущего периода .
Агрегатная формула общего индекса будет иметь вид:
= (4)
числитель индексного отношения
= 9 500 * 25 + 2 500 * 30 + 1 500 * 10 = 327 500 руб.
знаменатель индексного отношения
= 7 500 * 25 + 2 000 * 30 + 1 000 * 10 = 257 500 руб.
Полученные значения подставляем в формулу 4:
= или 127,2%
Применение формулы 4 показывает, что по данному ассортименту товаров в целом прирост физического объёма реализации в текущем периоде составил в среднем 27,2%.

Аналогичным образом производится расчёт индекса себестоимости, при этом сравниваются суммы затрат в производстве в отчётном периоде (- числитель индекса) с суммой затрат в производстве на продукцию отчётного периода по себестоимости базисного периода (- знаменатель).
Индексы с постоянными
и переменными весами.
При изучении динамики коммерческой деятельности приходится производить индексные сопоставления более чем за два периода.
Поэтому индексные величины могут определяться как на постоянной, так и на переменной базах сравнения. При этом, если задача анализа состоит в получении характеристик изменения изучаемого явления во всех последующих периодах по сравнению с начальным, то вычисляются базисные индексы. Например, сопоставление объёма розничного товарооборота II, III и IV кварталов с I кварталом.
Но если требуется охарактеризовать последовательно изменения изучаемого явления из периода в период, то вычисляются цепные индексы. Например, при изучении объёма розничного товарооборота по кварталам года сопоставляют товарооборот II квартала c I, III - cо II и IV - с III кварталом.
В зависимости от задачи исследования и характера исходной информации базисные и цепные индексы исчисляются как индивидуальные, так и общие.
Способы расчёта индивидуальных базисных и цепных индексов аналогичны расчёту относительных величин динамики. Общие индексы в зависимости от их вида вычисляются с переменными и постоянными весами - соизмерителями.
Используя индексный ряд за несколько периодов, можно получить динамику стоимости продукции и динамику товарооборота в неизменных ценах, т.е. в ценах какого - то одного прошлого периода. Такие индексные ряды называются индексами с постоянными весами. Для них действует правило: произведение цепных индексов даёт индекс базисный.
Пример.
По заводу имеются данные об объёме производства и стоимости продукции.
Таблица 2.
Вид. прод.
Ед. изм.
Произведено
продукции
Цена
в 1985г., тыс.руб.
Стоимость продукции в неизменных ценах 1985, тыс.руб.


1988
1989
1990

1988
1989
1990
А
тыс.т.
60
64
69
5 000
300
320
345
Б
млн.шт.
5,5
6,2
7,0
2 000
11000
12400
14000

всего
-
-
-
-
11300
12720
14345
Требуется рассчитать индексы физического объёма продукции с постоянными весами.
Индексы с постоянной базой (базисные):


Индексы с переменной базой (цепные):


Убедимся, что произведение цепных индексов равно базисному:
1,126 * 1,128 = 1,27
Если индексы цен, себестоимости и производительности труда имеют в качестве весов количество продукции отчётного периода, то эти индексы образуют индексные ряды с переменными весами, поскольку в каждом отдельном индексе отчётный период изменяется. Индексы с переменными весами не подчиняются правилу, согласно которому произведение цепных индексов равно базисному.
Пример.
Имеются данные об объёме производства и себестоимости продукции:
Таблица 3.

Вид

Единица
Выработано продукции за квартал
Себестоимость единицы продукции в квартал, руб.
Продукции
измерения
I
II
III
I
II
III
А
шт.
100
120
150
10
9,9
9,6
Б
шт.
300
310
320
35
35
34
В
кг.
7 800
8 200
8 500
0,5
0,48
0,45
Рассчитать индексы себестоимости с переменными весами.



Перемножив цепные индексы, получим:
0,989 * 0, 963 = 0, 9524
Рассчитаем базисный индекс III квартала:

Как видим, расхождение есть, но оно проявляется только в четвёртом знаке после запятой. Величина расхождения не многим более 0,01%.

Средние индексы.
Всякий агрегатный индекс может быть преобразован в средний арифметический из индивидуальных индексов. Для этого индексируемая величина отчётного периода, стоящая в числителе агрегатного индекса, заменяется произведением индивидуального индекса на индексируемую величину базисного периода.
Так, индивидуальный индекс цен равен , откуда .
Следовательно, преобразование агрегатного индекса цен в средний арифметический имеет вид:
==
Аналогично индекс себестоимости равен , откуда , следовательно, ==,
Аналогично индекс физического объёма продукции (товарооборота) равен , откуда , следовательно, ==

Пример.
Определить средний арифметический индекс физического объёма продукции.
Таблица 4.
Отрасль произв.
Стоимость прод. в базисном году, млн. руб.
Индексы физич. объёма прод. в отчёт. году (базис. год = 1)
Сахарная
20
1,47
Мукомольная
30
1,55
Мясная
25
1,71
Рыбная
15
2,1
ИТОГО
90
-
== или 166,7%
Физический объём продукции 4 отраслей увеличился на 66,7%.

Расчеты недостающих индексов
с помощью индексных систем.
Многие экономические индексы тесно связаны между собой и образуют индексные системы. Так, индекс цен связан с индексом физического объема товарооборота или физического объема продукции, образуя следующую индексную систему:
или
Произведение индекса цен на индекс физического объема товарооборота или продукции дает индекс физического объема товарооборота в фактических ценах, или индекс стоимости продукции.
Индекс себестоимости промышленной продукции связан с индексом физического объема продукции по себестоимости, образуя следующую индексную систему:
или
Произведение индекса себестоимости продукции на индекс физического объема дает индекс затрат в производстве.
Используя индексы системы, можно по двум известным индексам найти третий, неизвестный.



Пример.
Имеются следующие данные о продаже товаров в магазинах А:
Таблица 5
Товар
Продано, кг
Цена 1 кг, руб.

базисный период
отчетный период
базисный период
отчетный период
Яблоки
5000
6000
12
10
Бананы
2000
2500
25
24
Апельсины
4000
3800
16
14

Необходимо исчислить индексы цен, физического объема товарооборота в фактических ценах по трем товарам вместе.

Рассчитаем индекс цен:

Цены снизились на 11,33%, и покупатель имел экономию, равную 22100 руб. (19530 - 173200).

Определим индекс физического объема товарооборота:

Товарооборот в неизменных ценах вырос на 12,23%, прирост товарооборота в неизменных ценах составил 21300 руб. (195300 - 174000).
Рассчитаем индекс товарооборота в фактических ценах:

Товарооборот в фактических ценах снизился на 0,5%, что в абсолютном выражении составляет 800 руб. (174000 - 173200). Произведение первых двух индексов дает третий индекс

В определенной связи находятся и разности между знаменателем и числителем индексов: населению по ценам базисного периода было продано товаров на 21300 руб. больше, но в силу того, что население имело экономию от снижения цен на товары в сумме 22100 руб., оно за эти товары в отчетном периоде по фактическим ценам уплатило на 800 руб. меньше.


Контрольная работа №3
Задача №1.
По данным таблицы 6 определить:
1) общий индекс цен по всем товарам;
2) индекс цен по товарам овощной группы;
3) индекс цен по товарам молочной группы;
4) общий индекс физического объёма товарооборота;
5) индекс объёма продукции по овощной группе;
6) индекс объёма продукции по молочной группе;
7) сделайте выводы.
Таблица 6.

Товары
Цена, руб.
Продано,
натур. ед.
Стоим. прод. в отч. периоде по ценам:
(кг.)
Базисн. период
Отчёт. период
Базисн. период
Отчёт. период
Базисн. период
Отчёт. период
Картофель
16
15
80 000
100 000


Капуста
20
20
45 000
50 000


Морковь
40
35
15 000
20 000


Молоко
50
60
12 000
10 000


Творог
150
180
4 000
5 000


Сметана
200
200
200
500



Задача №2
По данным таблицы 7 определить базисные и цепные индексы цен. Сделайте выводы.



Таблица 7.
Товар
Среднесуточная продажа, кг.
Цена за 1 кг, руб.

Октябрь
Ноябрь
Декабрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь
А
1 200
1 000
600
0,8
1,0
1,2
Б
800
300
100
1,1
1,5
2,0

Продолжение контрольной работы № 3 в лекции №9.

1

Файл 3

Лекция №7

Ряды Динамики.
Установление вида ряда динамики.
Основная цель статистического изучения динамики коммерческой деятельности состоит в выявлении и измерении закономерностей их развития во времени. Это достигается посредством построения и анализа статистических рядов динамики.
Рядами динамики называются статистические данные, отображающие развитие изучаемого явления во времени. В каждом ряду динамики имеются два основных элемента: показатель времени t; соответствующие им уровни развития изучаемого явления у. В качестве показаний времени в рядах динамики выступают либо определенные даты (моменты) времени, либо отдельные периоды (годы, кварталы, месяцы, сутки).
Уровни рядов динамики отображают количественную оценку (меру) развития во времени изучаемого явления. Они могут выражаться абсолютными, относительными или средними величинами.
В зависимости от характера изучаемого явления уровни рядов динамики могут относиться или к определенным датам (моментам) времени, или к отдельным периодам. В соответствии с этим, ряды динамики подразделяются на моментные и интервальные.
Моментные ряды динамики отображают состояние изучаемых явлений на определенные даты (моменты) времени.
Примером моментного ряда динамики является следующая информация о списочной численности работников фирмы N в 1994 г.:

Дата
1.01
1.04
1.07
1.10
1.01
Год
1994 г.
1994 г.
1994 г.
1994 г.
1995 г.
Число работников, чел.
192
190
195
198
200


Особенностью моментного ряда динамики является то, что в его уровни могут входить одни и те же единицы изучаемой совокупности. Так, основная часть персонала фирмы N, составляющая списочную численность на 1.01.1994г., продолжающая работать в течение данного года, отображена в уровнях последующих периодов. Поэтому при суммировании уровней моментного ряда динамики может возникнуть повторный счет.
Интервальные ряды динамики отображают итоги развития (функционирования) изучаемых явлений за отдельные периоды (интервалы) времени.
Примером интервального ряда динамики могут служить данные о розничном товарообороте магазина в 1990-1994 гг.:
Год
1990
1991
1992
1993
1994
Объем розничного товарооборота, тыс. руб.
885,7
932,6
980,1
1028,7
1088,4

Особенностью интервального ряда динамики является то, что каждый его уровень складывается из данных за более короткие интервалы времени. Например, суммируя товарооборот за первые три месяца года, получают его объем за I квартал, а сумма товарооборота четырех кварталов дает объем товарооборота за год и т.д.

Ряды динамики могут быть полными и неполными.
Полный ряд - ряд динамики, в котором одноименные моменты времени или периоды времени строго следуют один за другим в календарном порядке или равноотстоят друг от друга.
Неполный ряд динамики - ряд, в котором уровни зафиксированы в неравноотстоящие моменты или периоды времени.
Пример.
Численность населения СССР характеризуется данными переписей, млн. чел.:

1939 1959 1970 1979 неполный моментный ряд
170,6 208,8 241,7 262, 4 абсолютных величин

Пример.
Производство электроэнергии характеризуется следующими данными, млрд. кВт-ч.:
1930 1940 1950 1960 полный интервальный ряд
48,6 91,2 292,3 740,9 абсолютных величин

Приведение рядов динамики в сопоставимый вид.

Ряды динамики, изучающие изменение статистического показателя, могут охватывать значительный период времени, на протяжении которого могут происходить события, нарушающие сопоставимость отдельных уровней ряда динамики (изменение методологии учета, изменение цен и т.д.).
Для того, чтобы анализ ряда был объективен, необходимо учитывать события, приводящие к несопоставимости уровней ряда и использовать приемы обработки рядов для приведения их в сопоставимый вид.
Наиболее характерные случаи несопоставимости уровней ряда динамики:
Территориальные изменения объекта исследования, к которому относится изучаемый показатель (изменение границ городского района, пересмотр административного деления области и т.д.).
Разновеликие интервалы времени, к которым относится показатель. Так, например, в феврале - 28 дней, в марте - 31 день, анализируя изменения показателя по месяцам, необходимо учитывать разницу в количестве дней.
Изменение даты учета. Например, численность поголовья скота в разные годы могла определяться по состоянию на 1 января или на 1 октября, что в данном случае приводит к несопоставимости.
Изменение методологии учета или расчета показателя.
Изменение цен.
Изменение единиц измерения.
Пример.
Динамика изменения численности населения района области по состоянию на 1 января (в тыс. человек) представлена рядом динамики:

1982 1983 1984
22,0 22,3 22,8 - в старых границах района.
В 1984 году произошло изменение административного деления области, и площадь района увеличилась, соответственно увеличилась и численность населения района:
1985 1986 1987
34,2 34,3 34,4 - в новых границах района.
Для приведения ряда в сопоставимый вид необходимо для 1984 года знать численность населения в старых и новых границах района для определения коэффициента пересчета:

Все уровни ряда, предшествующие 1984 году, умножаются на коэффициент К и ряд принимает вид:
1982 1983 1984 1985 1986 1987
33,0 33,3 34,2 34,2 34,3 34,4
После этого преобразования ряда динамики возможен дальнейший анализ ряда (определение темпов роста и др.).

Определение среднего уровня ряда динамики.

В качестве обобщенной характеристики уровней ряда динамики служит средний уровень ряда динамики . В зависимости от типа ряда динамики используются различные расчетные формулы.
Интервальный ряд абсолютных величин с равными периодами (интервалами времени):


Моментный ряд с равными интервалами между датами:

Моментный ряд с неравными интервалами между датами:

где - уровни ряда, сохраняющиеся без изменения на протяжении интервала времени .

Показатели изменения уровней ряда динамики.
Одним из важнейших направлений анализа рядов динамики является изучение особенностей развития явления за отдельные периоды времени.
С этой целью для динамических рядов рассчитывают ряд показателей:
К - темпы роста;
- абсолютные приросты;
- темпы прироста.
Темп роста - относительный показатель, получающийся в результате деления двух уровней одного ряда друг на друга. Темпы роста могут рассчитываться как цепные, когда каждый уровень ряда сопоставляется с предшествующим ему уровнем: , либо как базисные, когда все уровни ряда сопоставляются с одним и тем же уровнем , выбранным за базу сравнения: . Темпы роста могут быть представлены в виде коэффициентов либо в виде процентов.

Абсолютный прирост - разность между двумя уровнями ряда динамики, имеет ту же размерность, что и уровни самого ряда динамики. Абсолютные приросты могут быть цепными и базисными, в зависимости от способа выбора базы для сравнения:
цепной абсолютный прирост - ;
базисный абсолютный прирост - .
Для относительной оценки абсолютных приростов рассчитываются показатели темпов прироста.
Темп прироста - относительный показатель, показывающий на сколько процентов один уровень ряда динамики больше (или меньше) другого, принимаемого за базу для сравнения.
Базисные темпы прироста: .
Цепные темпы прироста: .
и - абсолютный базисный или цепной прирост;
- уровень ряда динамики, выбранный за базу для определения базисных абсолютных приростов;
- уровень ряда динамики, выбранный за базу для определения i-го цепного абсолютного прироста.
Существует связь между темпами роста и прироста:
К = К - 1 или К = К - 100 % (если темпы роста определены в процентах).
Если разделить абсолютный прирост (цепной) на темп прироста (цепной) за соответствующий период, получим показатель, называемый - абсолютное значение одного процента прироста: .
Пример.
Выпуск продукции предприятия за 1985 - 1990 гг. характеризуются следующими данными (в сопоставимых ценах), млн. руб.:

1985
1986
1987
1988
1989
1990
23,3
24,9
26,6
27,6
29,0
32,2
Требуется произвести анализ динамики выпуска продукции предприятием за пять лет.
1. Определяем цепные и базисные темпы роста (К).
Цепные: Базисные:







2. Определяем цепной и базисный абсолютный прирост ().
Цепные: Базисные:






3. Определяем цепные и базисные темпы прироста ().
Цепные: Базисные:






Проверим связь между темпами роста и прироста.
Цепные темпы прироста:



и т.д.
Видим, что получаем такие же результаты.

Определение среднего абсолютного прироста,
средних темпов роста и прироста.
По показателям изменения уровней ряда динамики (абсолютные приросты, темпы роста и прироста), полученным в результате анализа исходного ряда, могут быть рассчитаны обобщающие показатели в виде средних величин - средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста.
Средний абсолютный прирост может быть получен по одной из формул:
или ,
где n - число уровней ряда динамики;
- первый уровень ряда динамики;
- последний уровень ряда динамики;
- цепные абсолютные приросты.
Средний темп роста можно определить, пользуясь формулами:



где n - число рассчитанных цепных или базисных темпов роста;
- уровень ряда, принятый за базу для сравнения;
- последний уровень ряда;
- цепные темпы роста (в коэффициентах);
- первый базисный темп роста;
- последний базисный темп роста.

Между темпами прироста и темпами роста К существует соотношение = К - 1, аналогичное соотношение верно и для средних величин.

Контрольная работа №2.

Задача №1.
Имеются данные о реализации продукции (млн. руб.) фирмой "Орион". Для июля эта фирма состояла из восьми торговых точек, затем появились еще четыре точки.
Месяц
3
4
5
6
7
8
9
10
11
8 торговых точек
235
300
267
285
289
-
-
-
-
12 торговых точек
-
-
-
-
462
509
456
487
516
Приведите уровни ряда в сопоставимый вид.

Задача №2.
Имеются следующие данные о валовом сборе овощей в хозяйствах области, млн. ц.:
1986
1987
1988
1989
1990
7,6
9,1
7,8
8,4
9,6
Определить средний уровень валового сбора овощей за пять лет.

Задача №3.
По следующим данным о товарных запасах в розничной сети торгующих организаций города определить величину среднеквартального запаса за 1989г., млн. руб.:
1 января
1989
64,1
1 апреля
1989
57,8
1 июля
1989
60,0
1 октября
1989
63,2
1 января
1990
72,3

Задача №4.
За январь 1990г. произошли следующие изменения в списочном составе работников предприятия, чел.:
состояло по списку на 1.01.90г.
842
выбыло с 5.01.90г.
4
зачислено с 12.01.90г.
5
зачислено с 26.01.90г.
2
Определить среднедневную списочную численность работников предприятия за январь 1990г.

Задача №5.
Используя взаимосвязь показателей динамики, определите уровни ряда добычи нефти и недостающие в таблице цепные показатели динамики:


Добыча

Цепные показатели динамики
Год
нефти,
млн.т
абсолют. прирост, млн.т.
темп
роста,
%
темп прироста,
%
абс.значение 1% прироста
1980
353
-
-
-
-
1981

24



1982


106,1


1983



7,25

1984





1985

32


4,59
1986


105,9


1987



5

1988





1989

14


5,72

Задача №6
Используя взаимосвязь показателей динамики, определите уровни ряда и недостающие в таблице базисные показатели динамики:

Производство эл.энергии

Базисные показатели динамики
Год
млрд.
кВт.ч.
абсолют. прирост,
темп роста,
%
темп прироста,
%
1980
741
-
-
-
1981

59


1982


115,6

1983



23,9
1984


131,7

1985

298


1986


149,9

1987



55,2
1988

461


1989


167,2


Продолжение контрольной работы №2 на странице 19.

Определение в рядах динамики
общей тенденции развития.

Определение уровней ряда динамики на протяжении длительного периода времени обусловлено действием ряда факторов, которые неоднородны по силе и направлению воздействия, оказываемого на изучаемое явление.
Рассматривая динамические ряды, пытаются разделить эти факторы на постоянно действующие и оказывающие определяющее воздействие на уровни ряда, формирующие основную тенденцию развития, и случайные факторы, приводящие к кратковременным изменениям уровней ряда динамики. Наиболее важна при анализе ряда динамики его основная тенденция развития, но часто по одному лишь внешнему виду ряда динамики ее установить невозможно, поэтому используют специальные методы обработки, позволяющие показать основную тенденцию ряда. Методы обработки используются как простые, так и достаточно сложные. Простейший способ обработки ряда динамики, применяемый с целью установления закономерностей развития - метод укрупнения интервалов.

Суть метода в том, чтобы от интервалов, или периодов времени, для которых определены исходные уровни ряда динамики, перейти к более продолжительным периодам времени и посмотреть, как уровни ряда изменяются в этом случае.
Пример.
Данные о реализации молочной продукции в магазинах города по месяцам представлены таблицей (в тоннах)

месяц
1987
1988
1989
январь
5,3
5,3
5,4
февраль
5,3
5,1
5,2
март
7,9
8,3
8,2
апрель
8,2
9,0
9,3
май
9,8
9,5
10,1
июнь
12,5
13,0
13,1
июль
11,8
12,2
12,5
август
10,3
10,4
10,8
сентябрь
8,2
8,0
8,3
октябрь
6,5
6,6
6,8
ноябрь
5,4
5,5
5,7
декабрь
5,5
5,5
5,6
итого за год
96,7
98,4
101
Исходные уровни ряда динамики подвержены сезонным изменениям; для определения общей тенденции развития переходят от ежемесячных уровней к годовым уровням:
1987г. - 96,7 тонн
1988г. - 98,4 тонн
1989г. - 101 тонна

Эти цифры, полученные в результате перехода к годовым уровням ряда динамики, показывают общую тенденцию роста реализации молочной продукции.
Другой способ определения тенденции в ряду динамики - метод скользящих средних. Суть метода заключается в том, что фактические уровни ряда заменяются средними уровнями, вычисленными по определённому правилу, например:
- исходные или фактические уровни ряда динамики заменяются средними уровнями:





...
...
...

В результате получается сглаженный ряд, состоящий из скользящих пятизвенных средних уровней . Между расположением уровней и устанавливается соответствие:

- - - - ,
сглаженный ряд короче исходного на число уровней , где k - число уровней, выбранных для определения средних уровней ряда.
Сглаживание методом скользящих средних можно производить по четырём, пяти или другому числу уровней ряда, используя соответствующие формулы для усреднения исходных уровней.
Полученные при этом средние уровни называются четырёхзвенными скользящими средними, пятизвенными скользящими средними и т.д.
При сглаживании ряда динамики по чётному числу уровней выполняется дополнительная операция, называемая центрированием, поскольку, при вычислении скользящего среднего, например по четырём уровням, относится к временной точке между моментами времени, когда были зафиксированы фактические уровни и . Схема вычислений и расположений уровней сглаженного ряда становится сложнее:
... - исходные уровни;
- - ... - сглаженные уровни;
- - ... - центрированные сглаженные уровни;

.

Метод скользящих средних не позволяет получить численные оценки для выражения основной тенденции в ряду динамики, давая лишь наглядное графическое представление (пример 1).
Пример.
Таблица 1.
Годы
Валовый сбор хлопка-сырца, млн. т.
Скользящая средняя по 5 уровням
1960
4,3
-
1961
4,5
-
1962
4,3
4,72
1963
5,2
5,00
1964
5,3
5,30
1965
5,7
5,64
1966
6,0
5,78
1967
6,0
5,86
1968
5,9
6,10
1969
5,7
6,32
1970
6,9
6,58
1971
7,1
6,94
1972
7,3
7,48
1973
7,7
7,68
1974
8,4
7,92
1975
7,9
8,22
1976
8,3
8,38
1977
8,8
8,54
1978
8,5
8,94
1979
9,2
9,18
1980
9,9
9,30
1981
9,6
-
1982
9,3
-

На рис. 1 показан график, построенный по данным о валовом сборе хлопка-сырца в стране за ряд лет наблюдения и по расчетным данным, представленным в таблице 1.

Рис. 1. Валовый сбор хлопка - сырца.

Наиболее совершенным способом определения тенденции развития в ряду динамики является метод аналитического выравнивания. При этом методе исходные уровни ряда динамики заменяются теоретическими или расчетными , которые представляют из себя некоторую достаточно простую математическую функцию времени, выражающую общую тенденцию развития ряда динамики. Чаще всего в качестве такой функции выбирают прямую, параболу, экспоненту и др.

Например, ,
где - коэффициенты, определяемые в методе аналитического выравнивания;
- моменты времени, для которых были получены исходные и соответствующие теоретические уровни ряда динамики, образующие прямую, определяемую коэффициентами .

Расчет коэффициентов ведется на основе метода наименьших квадратов:


Если вместо подставить (или соответствующее выражение для других математических функций), получим:


Это функция двух переменных (все и известны), которая при определенных достигает минимума. Из этого выражения на основе знаний, полученных в курсе высшей математики об экстремуме функций n переменных, получают значения коэффициентов .
Для прямой:




где n - число моментов времени, для которых были получены исходные уровни ряда .
Если вместо абсолютного времени выбрать условное время таким образом, чтобы , то записанные выражения для определения упрощаются:

Пример.
Нечетное число уровня ряда.
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
абсолютное время
-3
-2
-1
0
1
2
3
условное время


Чётное число уровней ряда.
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
абсолютное время
-7
-5
-3
-1
1
3
5
7
условное время

В обоих случаях .
Пример.
Выполняется аналитическое выравнивание ряда, отражающего производство стали в стране по годам (млн. т).
1985
1986
1987
1988
1989
141,3
144,8
146,7
151,5
149,0

В качестве математической функции, отражающей тенденцию развития, выбирается прямая , определение производится для условного времени, в результате , .


Год
Производство стали
Условное время

Теоретические уровни

1985
141,3
-2
142,2
1986
144,8
-1
144,4
1987
146,7
0
146,7
1988
151,5
1
148,9
1989
149,0
2
151,1


Определение в рядах внутригодовой динамики.

Многие процессы хозяйственной деятельности, торговли, сельского хозяйства и других сфер человеческой деятельности подвержены сезонным изменениям, например, продажа мороженого, потребление электроэнергии, производство молока, сахара, продажа сельхозпродукции и др.
Для анализа рядов динамики, подверженных сезонным изменениям, используются специальные методы, позволяющие установить и описать особенности изменения уровней ряда. Прежде, чем использовать методы изучения сезонности, необходимо подготовить данные, приведённые в сопоставимый вид, за несколько лет наблюдения по месяцам или кварталам. Изменения сезонных колебаний производится с помощью индексов сезонности. В зависимости от существующих в ряду динамики тенденций используются различные правила построения индексов.
1. Ряд динамики не имеет общей тенденции развития, либо она не велика.
Индекс сезонности: ,
где - средний уровень ряда, полученный в результате осреднения уровней ряда за одноимённые периоды времени (например, средний уровень января за все годы наблюдения);
- общий средний уровень ряда за всё время наблюдения.
Вывод о наличии или отсутствия в ряду динамики ярко выраженной тенденции может производиться, например, при помощи метода укрупнения интервалов.
Пример.
Имеются данные заключения брака в городе за ряд лет наблюдения:

Месяц
1986
1987
1988
январь
173
183
178
февраль
184
185
179
март
167
162
161
апрель
142
160
184
май
137
143
151
июнь
145
150
156
июль
153
167
177
август
171
173
181
сентябрь
143
150
157
октябрь
162
165
174
ноябрь
178
181
193
декабрь
185
189
197
итого за год
1940
2008
2088

При переходе от месячных к годовым уровням можно установить, что тенденция роста очень незначительна.

Общий средний уровень ряда:
- среднее число браков, заключаемых за один день.



Средний уровень января:
- среднее число браков за один день января.
Аналогично рассчитывается средние уровни февраля, марта и т.д. Результаты расчётов сведены в таблицу:

Месяц


январь
5,74
104,2
февраль
6,45
117,1
март
5,27
95,6
апрель
5,4
88,0
май
4,63
84,0
июнь
5,01
91,0
июль
5,34
96,9
август
5,64
102,4
сентябрь
5,0
90,7
октябрь
5,39
97,8
ноябрь
6,13
111,3
декабрь
6,14
111,4

Полученные индексы сезонности дают оценку того, как в отдельные месяцы года количество заключённых браков отклоняется от среднего значения. Построенный по полученным индексам сезонности линейный график наглядно покажет сезонность рассматриваемого процесса.
2. Ряд динамики имеет общую тенденцию, и она определена либо методом скользящего среднего, либо методом аналитического выравнивания.
Индекс сезонности ,
где - исходные уровни ряда:
- уровни ряда, полученные в результате определения скользящих средних для тех же периодов времени, что и исходные уровни:
I - номер месяца или квартала, для которого определяется индекс сезонности:
n - число лет наблюдения за процессом.
В случае, если тенденция развития определялась методом аналитического выравнивания, расчетная формула получения индексов сезонности совершенно аналогична предыдущей, но вместо - уровней, полученных методом скользящих средних, используются - полученные методом аналитического выравнивания.
Пример.
На основе исходных данных о реализации сахара в продовольственных магазинах города в 1990 - 1992 гг. (т), определены скользящие средние по трем уровням ряда:


1990
1991
1992
Месяц
Исходные уровни

Сглажен. уровни

Исходные уровни

Сглажен. уровни

Исходные уровни

Сглажен. уровни

январь
78,9
-------
108,6
106,2
129,1
131,3
февраль
78,1
81,0
107,9
107,8
128,6
129,5
март
86,0
87,2
106,8
115,4
130,7
137,4
апрель
97,5
88,9
132,1
117,3
152,8
141,1
май
83,3
88,9
113,0
119,0
139,8
146,7
июнь
86,0
86,6
111,8
116,4
147,4
150,3
июль
90,6
87,6
124,4
116,8
163,8
152,5
август
86,1
86,0
114,1
115,6
146,3
149,3
сентябрь
81,3
90,8
108,4
115,6
137,8
145,4
октябрь
105,1
94,5
124,0
117,0
152,2
144,4
ноябрь
97,2
101,5
118,0
126,2
143,2
150,6
декабрь
102,1
102,6
136,3
128,0
156,5
-------

На основе исходных и сглаженных уровней ряда строятся индексы сезонности:

Так для января:

Для февраля:

и т.д.



Индексы сезонности по месяцам сведены в таблицу:
Месяц
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12


100

98

96

110

95

98

106

96

93

107

95

103
Построив линейный график, можно увидеть закономерности изменения объёма продаж сахара по месяцам года.

Продолжение контрольной работы №2.
Задача №1.
Имеются следующие данные о реализации молочной продукции в магазинах города по месяцам с 1987 - 1990 г.г. (тыс.т.):
Месяц
1987
1988
1989
1990
январь
5,3
8,3
10,4
5,3
февраль
5,0
7,6
10,2
5,2
март
8,8
11,0
11,8
8,0
апрель
9,8
11,5
14,1
8,2
май
15,4
16,1
17,8
9,8
июнь
18,3
24,8
27,6
14,9
июль
17,1
23,8
25,0
11,8
август
15,4
19,4
19,8
10,3
сентябрь
12,9
15,7
17,4
8,0
октябрь
9,5
11,8
12,7
6,5
ноябрь
9,0
10,2
11,0
5,4
декабрь
7,5
10,1
8,6
5,6

Для изучения общей тенденции реализации данной продукции:
1) произведите преобразование исходных данных путём укрупнения периодов времени: а) в квартальные уровни, б) в годовые уровни;
2) нанесите на линейный график полученные квартальные уровни;
3) произведите сглаживание квартальных уровней с применением пятизвенной скользящей средней;
4) нанесите полученные при сглаживании данные на график с квартальными уровнями;
5) сделайте выводы о характере общей тенденции изучаемого явления.
Задача №2.
Имеются следующие данные о розничном товарообороте за 1984 - 1990 г.г. (тыс. руб.):
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
483,5
500,7
546,1
570,2
580,7
590,1
611,2
Для изучения общей тенденции развития розничного товарооборота:
1) изобразите ряд динамики в виде линейного графика;
2) произведите аналитическое выравнивание уровней ряда по прямой и выразите общую тенденцию роста соответствующим математическим уравнением;
3) определите выровненные (теоретические) уровни ряда динамики и нанесите их на график с исходными (эмпирическими) данными;
4) сделайте выводы.

Задача №3.
Имеются следующие данные по городу о числе родившихся детей по месяцам 1986 - 1988 гг. (чел.):

Месяц
1986
1987
1988
январь
454
413
410
февраль
389
354
352
март
420
394
394
апрель
393
370
373
май
391
374
383
июнь
358
343
341
июль
363
347
351
август
357
350
346
сентябрь
345
336
333
октябрь
342
335
334
ноябрь
328
322
319
декабрь
315
316
310

Для анализа внутригодовой динамики:
1) определите индексы сезонности, считая, что в ряду динамики отсутствует тенденция развития;
2) представьте в виде линейного графика сезонную волну;
3) сделайте соответствующие выводы.

Файл 4

Лекция №6

Показатели вариации.
Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака.
Она возникает в результате того, что его индивидуальные значения складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов, которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае.
Средняя величина - это абстрактная, обобщающая характеристика признака изучаемой совокупности, но она не показывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя величина не дает представления о том, как отдельные значения изучаемого признака группируются вокруг средней, сосредоточены ли они вблизи или значительно отклоняются от нее. В некоторых случаях отдельные значения признака близко примыкают к средней арифметической и мало от нее отличаются. В таких случаях средняя хорошо представляет всю совокупность.
В других, наоборот, отдельные значения совокупности далеко отстают от средней, и средняя плохо представляет всю совокупность.
Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариации.
Термин "вариация" произошел от латинского variatio -"изменение, колеблемость, различие". Однако не всякие различия принято называть вариацией. Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов. Различают вариацию признака: случайную и систематическую.

Анализ систематической вариации позволяет оценить степень зависимости изменений в изучаемом признаке от определяющих ее факторов. Например, изучая силу и характер вариации в выделяемой совокупности, можно оценить, насколько однородной является данная совокупность в количественном, а иногда и качественном отношении, а следовательно, насколько характерной является исчисленная средняя величина. Степень близости данных отдельных единиц хi к средней измеряется рядом абсолютных, средних и относительных показателей.


Абсолютные и средние показатели вариации
и способы их расчета.
Для характеристики совокупностей и исчисленных величин важно знать, какая вариация изучаемого признака скрывается за средним.
Для характеристики колеблемости признака используется ряд показателей. Наиболее простой из них - размах вариации.
Размах вариации - это разность между наибольшим () и наименьшим () значениями вариантов.

Пример 1.
Таблица 6.1
Группы предприятий по объему товарооборота, млн.руб.
Число предприятий
90 - 100
28
100 - 110
48
110 - 120
20
120 - 130
4
ИТОГО
100

Определяем показатель размаха вариации:
R = 130 - 90 = 40 млн. руб.
Этот показатель улавливает только крайние отклонения и не отражает отклонений всех вариант в ряду.
Чтобы дать обобщающую характеристику распределению отклонений, исчисляют среднее линейное отклонение d, которое учитывает различие всех единиц изучаемой совокупности.
Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней, без учета знака этих отклонений:
.
Порядок расчета среднего линейного отклонения следующий:
1) по значениям признака исчисляется средняя арифметическая:
;
2) определяются отклонения каждой варианты от средней ;
3) рассчитывается сумма абсолютных величин отклонений: ;
4) сумма абсолютных величин отклонений делится на число значений:
.
Пример 2.
Таблица 6.2
Табельный номер рабочего


//
1
2
- 8
8
2
3
- 7
7
3
12
2
2
4
15
5
5
5
18
8
8
Итого
50
0
30


d==
Если данные наблюдения представлены в виде дискретного ряда распределения с частотами, среднее линейное отклонение исчисляется по формуле средней арифметической взвешенной:

Порядок расчета среднего линейного отклонения взвешенного следующий:
1) вычисляется средняя арифметическая взвешенная:
;
2) определяются абсолютные отклонения вариант от средней //;
3) полученные отклонения умножаются на частоты ;
4) находится сумма взвешенных отклонений без учета знака:
;
5) сумма взвешенных отклонений делится на сумму частот:
.

Расчет дисперсии и среднего квадратического отклонения по индивидуальным данным
и в рядах распределения.
Основными обобщающими показателями вариации в статистике являются дисперсии и среднее квадратическое отклонение.
Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. Дисперсия обычно называется средним квадратом отклонений и обозначается . В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой или взвешенной:
- дисперсия невзвешенная (простая);
- дисперсия взвешенная.
Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии и обозначается S:
- среднее квадратическое отклонение невзвешенное;
- среднее квадратическое отклонение взвешенное.
Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности. Выражается оно в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, процентах, гектарах и т.д.).
Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представляемую совокупность.
Вычислению среднего квадратического отклонения предшествует расчет дисперсии.

Порядок расчета дисперсии взвешенную:
1) определяют среднюю арифметическую взвешенную
;
2) определяются отклонения вариант от средней ;
3) возводят в квадрат отклонение каждой варианты от средней ;
4) умножают квадраты отклонений на веса (частоты) ;
5) суммируют полученные произведения
;
6) Полученную сумму делят на сумму весов
.

Пример 3.
Таблица 6.3.
Произведено продукции одним рабочим, шт.
( варианта)
Число рабочих,




8
7
56
-2
4
28
9
10
90
-1
1
10
10
15
150
0
0
0
11
12
132
1
1
12
12
6
72
2
4
24
ИТОГО
50
500


74
Исчислим среднюю арифметическую взвешенную:
шт.
Значения отклонений от средней и их квадратов представлены в таблице 6.3. Определим дисперсию:
=1,48
Среднее квадратическое отклонение будет равно:
шт.
Если исходные данные представлены в виде интервального ряда распределения, то сначала надо определить дискретное значение признака, а далее применить тот же метод, что изложен выше.
Пример 4.
Покажем расчет дисперсии для интервального ряда на данных о распределении посевной площади колхоза по урожайности пшеницы:

Таблица 6.4
Урожайность пшеницы, ц/га
Посевная площадь, га





14 - 16
100
15
1500
-3,4
11,56
1156
16 - 18
300
17
5100
-1,4
1,96
588
18 - 20
400
19
7600
0,6
0,36
144
20 - 22
200
21
4200
2,6
6,76
1352
ИТОГО
1000

18400


3240

Средняя арифметическая равна:
ц с 1га.
Исчислим дисперсию:

Расчет дисперсии по формуле по индивидуальным данным и в рядах распределения.
Техника вычисления дисперсии сложна, а при больших значениях вариант и частот может быть громоздкой. Расчеты можно упростить, используя свойства дисперсии.

Свойства дисперсии.
1. Уменьшение или увеличение весов (частот) варьирующего признака в определенное число раз дисперсии не изменяет.
2. Уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину А дисперсии не изменяет.
3. Уменьшение или увеличение каждого значения признака в какое-то число раз к соответственно уменьшает или увеличивает дисперсию в раз, а среднее квадратическое отклонение - в к раз.
4. Дисперсия признака относительно произвольной величины всегда больше дисперсии относительно средней арифметической на квадрат разности между средней и произвольной величиной: . Если А равна нулю, то приходим к следующему равенству: , т.е. дисперсия признака равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом средней.
Каждое свойство при расчете дисперсии может быть применено самостоятельно или в сочетании с другими.
Порядок расчета дисперсии простой:
1) определяют среднюю арифметическую ;
2) возводят в квадрат среднюю арифметическую;
3) возводят в квадрат каждую варианту ряда ;
4) находим сумму квадратов вариант ;
5) делят сумму квадратов вариант на их число, т.е. определяют средний квадрат ;
6) определяют разность между средним квадратом признака и квадратом средней .

Пример 5.
Имеются следующие данные о производительности труда рабочих:
Таблица 6.4
Табельный номер рабочего
Произведено продукции, шт.

1
8
64
2
9
81
3
10
100
4
11
121
5
12
144
ИТОГО
50
510

Произведем следующие расчеты:
шт.

Пример 6.
Определить дисперсию в дискретном ряду распределения, используя табл. 6.5.
Таблица 6.5.
Произведено продукции 1 рабочим, шт. (х)
Число рабочих, n



8
7
56
64
448
9
10
90
81
810
10
15
150
100
1500
11
12
132
121
1452
12
6
72
144
864
ИТОГО
50
500
510
5074



Получим тот же результат, что в табл. 6.3.

Рассмотрим расчет дисперсии в интервальном ряду распределения.
Порядок расчета дисперсии взвешенной (по формуле ):
1) определяют среднюю арифметическую ;
2) возводят в квадрат полученную среднюю ;
3) возводят в квадрат каждую варианту ряда ;
4) умножают квадраты вариант на частоты ;
5) суммируют полученные произведения ;
6) делят полученную сумму на сумму весов и получают средний квадрат признака ;
7) определяют разность между средним значением квадратов и квадратом средней арифметической, т.е. дисперсию .

Пример 7.
Имеются следующие данные о распределении посевной площади колхоза по урожайности пшеницы:
Таблица 6.6
Урожайность пшеницы, ц/га
Посевная площадь, га




14 - 16
100
15
1500
225
22500
16 - 18
300
17
5100
289
36700
18 - 20
400
19
7600
361
144400
20 - 22
200
21
4200
441
88200
ИТОГО
1000

18400

341200
В подобных примерах прежде всего определяется дискретное значение признака в каждом интервале, а затем применяется метод расчета, указанный выше:

Средняя величина отражает тенденцию развития, т.е. действие главных причин. Среднее квадратическое отклонение измеряет силу воздействия прочих факторов.

Показатели относительного рассеивания.
Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей). Расчет показателей меры относительного рассеивания осуществляют как отношение абсолютного показателя рассеивания к средней арифметической, умножаемое на 100%.
1. Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.
(1)
2. Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины.
(2)


3. Коэффициент вариации.
(3)
Учитывая, что среднеквадратическое отклонение дает обобщающую характеристику колеблемости всех вариантов совокупности, коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин. При этом исходят из того, что если V больше 40 %, то это говорит о большой колеблемости признака в изучаемой совокупности.


Продолжение контрольной работы №1.
Для характеристики производственного стажа работников одной из отраслей промышленности проведено обследование различных категорий работников. Результаты обследования систематизированы в виде таблицы.
По данным таблицы 6.7 определите:
1) размах вариации;
2) среднее линейное отклонение;
3) дисперсию (двумя способами);
4) среднее квадратическое отклонение;
5) коэффициент вариации стажа рабочих, мастеров, технологов.

Таблица 6.7
Группы работников по стажу работы, лет
Удельный вес работников по стажу в % к итогу

Рабочие
Мастера
Технологи
До 2
7
1
-
2 - 4
15
10
3
4 - 6
20
22
20
6 - 8
30
20
10
8 - 10
10
23
32
10 - 12
8
7
20
12 - 14
2
6
10
Свыше 14
8
11
5

Для расчета выберете две любые группы.